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👇目录
🔆知识点
1.集合与元素的含义
- 一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。
- 我们通常用小写拉丁字母……表示集合中的元素，用大写拉丁字母……表示集合。
2.集合中元素的三个特征
- 确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，即按照明确的判断标准判断给定的元素，或者在这个集合力，或者不在这个集合里，二者必居其一。
- 互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的。
- 无序性：集合中的元素排列无先后顺序，任意调换集合中的元素位置，集合不变。
集合的分类
- 有限集：含有限个元素的集合是有限集。如方程的实数根组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集。
- 无限集：含无限个元素的集合是无限集。如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集。
3.元素与集合的关系
如果是集合A的元素，就说属于（belong to）集合，记作；如果不是集合中的元素，就说不属于（not belong to）集合，记作.
4.常见数集的表示
- 非负整数集（或自然数集），记作；
- 正整数集，记作*或+；
- 整数集，记作；
- 有理数集，记作；
- 实数集，记作.
5.集合的表示法
- 自然语言
- 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法。
- 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
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课后练习
中考真题
拓展延伸
📖课本内容
📕【高中数学人教版A版2~6页】
在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如。自然数的集合，有理数的集合，不等式的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆），到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即这条线段的垂直平分线）……
那么，集合的含义是什么呢？我们再来看下面的一些例子：
（1）~以内的所有质数；
（2）我国从~年的年内所发射的所有人造卫星；
（3）金星汽车厂年生产的所有汽车；
（4）年月日之前与我国建立外交关系的所有国家；
（5）所有的正方形；
（6）到直线的距离等于定长的所有的点；
（7）方程的所有实数根；
（8）新华中学年月入学的高一学生的全体。
例（1）中，我们把~以内的每一个质数作为元素，这些元素的全体就组成一个集合；同样地，例（2）中，把我国从~年的年内发射的每一颗人造卫星作为元素，这些元素的全体也组成一个集合。
思考
上面的例（3）到例（8）也都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？归纳总结这些例子，你能说出它们的共同特征吗？
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。
给定的集合，它的元素必须是确定的。也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。例如，“亚洲国家的首都”构成一个集合，北京、东京、新德里……在这个集合中，纽约、巴黎、伦敦……不在这个集合中。“身材较高的人”不能构成集合。因为组成它的元素是不确定的。
一个给定集合中的元素是互不相同的。也就是说，集合中的元素是不重复出现的。
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
思考
判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
（1）大于3小于11的偶数；
（2）我国的小河流。
我们通常用大写拉丁字母……表示集合，用小写拉丁字母……表示集合中的元素。
如果是集合的元素，就说属于（belong to）集合，记作；如果不是集合中的元素，就说不属于（not belong to）集合，记作.
例如，我们用表示“~以内的所有质数”组成的集合，则有等等。
数学中一些常用的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作；
所有正整数组成的集合称为正整数集，记作*或+；
全体整数组成的集合称为整数集，记作；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作；
全体实数组成的集合称为实数集，记作.
从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合。除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？
列举法
我们可以把“地球上的四大洋”组成的集合表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，把“方程的所有实数根“组成的集合表示为
像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法。
例1 用列举法表示下列集合：
（1）小于的所有自然数组成的集合；
（2）方程的所有实数根组成的集合；
（3）由~以内的所有质数组成的集合。
解：（1）设小于的所有自然数组成的集合为，那么
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合可以有不同的列举方法.例如
（2）设方程的所有实数根组成的集合为，那么
（3）设由~以内的所有质数组成的集合为，那么
思考
（1）你能用自然语言描述集合吗？
（2）你能用列举法表示不等式的解集吗？
描述法
我们不能用列举法表示不等式的解集，因为这个集合中的元素是列举不完的.但是，我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述。
例如，不等式的解集中所含元素的共同特征是：，且，即.所以，我们可以把这个集合表示为
又如，任何一个奇数都可以表示为的形式。所以，我们可以把所有奇数的集合表示为
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程的所有实数根组成的集合；
（2）由大于小于的所有整数组成的集合。
解：（1）设方程的实数根为，并且满足条件，因此，用描述法表示为
方程有两个实数根，，因此，用列举法表示为
（2）设大于10小于20的整数为x，它满足条件，且，因此，用描述法表示为
大于小于的整数有因此，用列举法表示为
要指出的是，如果从上下文的关系来看，是明确的，那么可以省略，只写其元素. 例如，集合也可表示为；集合也可表示为.
思考
（1）结合上述实例，试比较用自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用的对象。
（2）自己举出几个集合的例子，并分别用自然语言、列举法和描述法表示出来。
练习
- 用符号“”或“”填空： （1）设为所有亚洲国家组成的集合，则： 中国________，美国________， 印度________，英国________； （2）若，则________； （3）若，则________； （4）若，则________，________.
- 试选择适当的方法表示下列集合： （1）由方程的实数根组成的集合； （2）由小于的所有质数组成的集合； （3）一次函数与的图象的交点组成的集合； （4）不等式的解集。
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